ニュートン算とは

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ニュートン算とは、仕事算の発展系のような解き方をする問題の解法だ。

 

たとえば仕事算では、全体の仕事量は変化しなかったが、仕事が後から後から追加されるような場合を考えるのがニュートン算だ。

 

よくあるのが、水が少しずつ使われて抜けていくタンクに、ポンプで水を入れるようなポンプ問題だとか、行列ができているお店の待ち時間を考える行列待ち問題などだ。

 

ポンプ問題では、水が抜けるのではなくて、水が入ってくる状態で、水を汲み上げるというタイプの問題もある。

 

基本問題では、増える仕事量より仕事率の方が大きいが、発展問題では逆になることもある。


 

ニュートン算 ポンプ問題

ある水族館の大きな水槽は、水質を清潔に保つために、一定の割合で水が流れ出る仕組みになっています。

 

この水槽に3本のポンプで水を入れると、満水にするのに20時間かかります。

 

ポンプを4本に増やすと、満水まで10時間かかかります。

 

ではポンプを6本に増やした場合、何時間で満水にすることが出来るでしょうか。

 

この問題では、1時間にどれくらいの量の水が流れ出るかが分かりません。

 

なので単純な仕事算とは、難しさが違います。

 

そこで式を作るために、問題を整理します。

 

まず、ポンプ3本で20時間かかるわけですから、水槽の全体量は、

A: (ポンプ3本分の1時間あたりの注水量-1時間あたりの排水量)×20時間

と言うことになります。

 

同様に、ポンプ4本使う場合は、

B: (ポンプ4本分の1時間あたりの注水量-1時間あたりの排水量)×10時間

と言うことになります。

 

ここで手がかりがないので、20時間と10時間の最小公倍数【20】を全体量と仮定してみます。

 

とすると、Aの1時間あたりの仕事率は、【1】と言うことになりますね。

 

一方、Bの1時間あたりの仕事率は、【2】と言うことになります。

 

ポンプ1台あたり1時間あたりの注水量は?

AとBではポンプ1台分しか差がありません。

 

なのでポンプ1台あたりの注水量は、【2】-【1】=【1】だと言うことが分かります。

 

そして1時間あたりの排水量は、Aのケースから、

(【3】-【排水量】)×20時間=【20】

ですから、【2】だと言うことが分かります。

 

となると、ポンプを6台に増やした場合、1時間あたりで水槽に溜まる水の量は、

【6】-【2】=【4】

ということになって、全体量が【20】ですから、20÷4=5(時間)というのが答えになります。


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